Euler Problem 17

문제 내용

If the numbers 1 to 5 are written out in words: one, two, three, four, five, then there are 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 letters used in total.
If all the numbers from 1 to 1000 (one thousand) inclusive were written out in words, how many letters would be used?

NOTE: Do not count spaces or hyphens. For example, 342 (three hundred and forty-two) contains 23 letters and 115 (one hundred and fifteen) contains 20 letters. The use of "and" when writing out numbers is in compliance with British usage.

1부터 19까지는 직접 문자열 길이를 입력하여야 한다. 그리고 20-999까지는  일단위, 십단위, 백단위의 적절한 조합을 통해 문자열 길이를 알아낼 수 있다. 아래 알고리즘은 이 문제를 해결하기 위해 구현한 것이다. 그러나 정갈하게 구성되어 있지 않다.

Sub Euler17()
    Dim OneNineteen
    Dim TenPlace
    OneNineteen = Array("one", "two", "three", "four", "five", "six", "seven", "eight", "nine", _
"ten", "eleven", "twelve", "thirteen", "fourteen", "fifteen", "sixteen", "seventeen", "eighteen", "nineteen")
    TenPlace = Array("twenty", "thirty", "forty", "fifty", "sixty", "seventy", "eighty", "ninety")
   
    Const HundredAnd = 10
    Const onethousand = 11
    Dim i, j, A, total, place1, place2
    Dim Len0_999(0 To 999)   ' 1-99까지의 문자길이 배열, 0은 계산편의상 지정
    Dim LenTenPlace(2 To 9)   ' 20, 30 --- 90까지 문자길이 배열
    i = 2   ' 20-90까지의 문자 길이 배열 저장
    For Each A In TenPlace
        LenTenPlace(i) = Len(A)
        i = i + 1
    Next A
    ' 1-19까지의 문자 길이 배열 저장
    Len0_999(0) = 0 ' 계산편의를 위해 0 지정
    i = 1
    For Each A In OneNineteen
        Len0_999(i) = Len(A)
        i = i + 1
    Next A
    ' 20-99까지 문자 길이 배열 저장
    For i = 20 To 99
        place1 = Len0_999(i - (Int(i / 10) * 10))
        place2 = LenTenPlace(Int(i / 10))
        Len0_999(i) = place1 + place2
    Next
    ' 100-999까지 문자 길이 배열 저장
    For i = 100 To 999
        place1 = Len0_999(i - (Int(i / 100) * 100))
        place2 = Len0_999(Int(i / 100))
        If i Mod 100 = 0 Then
            Len0_999(i) = place2 + 7    ' 7은 hundres 의 문자수
        Else
            Len0_999(i) = place2 + HundredAnd + place1
        End If
    Next
    '합계 결과물 산출 로직
    total = 0
    For i = 1 To 999
        total = total + Len0_999(i)
        ' ActiveCell.Offset(i, 0).Value = total     ' 워크시트에서 결과물 확인
    Next
    Debug.Print total + onethousand     ' 1000의 문자 길이도 합산
End Sub

Euler Problem 16

문제

2¹⁵ = 32768 and the sum of its digits is 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26.
What is the sum of the digits of the number 2¹⁰⁰⁰?

컴퓨터 또는 프로그래밍 언어가 유효 자릿수를 충분히 제공하면 쉽게 계산할 수 있는 문제이다. 그러나 2의 1000제곱은 약 335자리수가 나올 것으로 예상되기 때문에 쉽게 생각할 수 없는 문제이다. (2^n일 경우, 보통 n이 +3마다 자리수가 +1 되므로 약 335자리가 예상됨). 그래서 10자리 숫자로 구분하여 배열에 할당하고, 이를 토대로 계산하는 알고리즘을 구상하였다. 생각보다 매우 빠르게 계산되어졌다. VBA에서도 유효자리수의 한계(15자리)를 이런 방식으로 극복할 수 있다.

Sub Euler16()
    Dim Num(1 To 35) As Double  ' 2^n일 경우, 보통 n이 +3마다 자리수가 +1 되므로 약 334자리가 예상됨. 대략 350자리로 하고 이를 10으로 나눔.
    Dim temp, upNum, i, j, strNum, Sum
    upNum = 0
    Num(35) = 1
    For i = 1 To 1000
        For j = 35 To 1 Step -1
            temp = Num(j) * 2 + upNum
            upNum = Int(temp / 10000000000#)
            Num(j) = temp - (upNum * 10000000000#)
            ' Debug.Print i, j, Num(j), upNum
        Next
    Next
    ' strsum 변수에 배열 Sum의 1번 배열 값을 입력한다.
    strNum = Num(35)
    ' strsum 변수에 나머지 배열 Sum의 값들을 10자리씩 형식을 지정하여 문자열로 연결하여 입력한다.
    For j = 35 To 1 Step -1
        strNum = Format(Num(j), "0000000000") & strNum
    Next
    Sum = 0
    For i = 1 To 350
        Sum = Sum + Mid(strNum, i, 1)
    Next
    ' 왼쪽에서 10개 자리에 있는 숫자들을 출력한다.
    Debug.Print Sum
End Sub

Euler Problem 15

문제 내용

Starting in the top left corner of a 22 grid, there are 6 routes (without backtracking) to the bottom right corner.

How many routes are there through a 2020 grid?

처음에 이 문제를 보았을 때 의사결정나무 구조를 만들어 풀어보고자 하였다. 그러나 경우의 수가 지나치게 늘어나고, VBA에서 트리 데이터 구조를 사용하려면 시간이 많이 들어가기 때문에 또 다른 방법이 없는가를 생각하였다. 초등학교 6-나 수학에 이와 유사한 문제가 있다. 아래 그림과 같이 2*2 그리드에서 시작점에서 종착점으로 가는 가장 빠른 길이 몇 가지가 되는 가를 묻는 문제들이 있다. 각 점을 (a, b)라고 할 때, a 또는 b가 0인 점[ (0,1),(0,2),(1,0), (2,0)]은 들어오는 길이 1개이다. (1,1)점은 (0,1)의 1개와 (1,0)의 1개를 합쳐 2개이다. (1,3)점은 (0,2)의 1개와 (1,1)의 2개를 합쳐 3개가 된다. 이런식으로의 변화를 20*20 그리드에 적용하기 위해 프로그래밍을 하였다.
 

 

Sub Euler15()
    Const N = 20
    Dim Grid(N + 1, N + 1)
    Dim a, b
    For a = 1 To N
        Grid(0, a) = 1
        Grid(a, 0) = 1
    Next
    For a = 1 To N
        For b = 1 To N
            Grid(a, b) = Grid(a - 1, b) + Grid(a, b - 1)
        Next
    Next
    Debug.Print Grid(N, N)
End Sub

Euler Problem 14

문제의 내용

The following iterative sequence is defined for the set of positive integers:

n n/2 (n is even)
n 3n + 1 (n is odd)

Using the rule above and starting with 13, we generate the following sequence:

13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

It can be seen that this sequence (starting at 13 and finishing at 1) contains 10 terms. Although it has not been proved yet (Collatz Problem), it is thought that all starting numbers finish at 1.
Which starting number, under one million, produces the longest chain?

NOTE: Once the chain starts the terms are allowed to go above one million.

단순히 위해서 설명된 규칙대로 구현하였다. 백만까지의 숫자들을 시작점으로 하여 위 규칙을 적용하여 가장 많은 항들이 나타나는 것을 체크하였다. 논리는 쉬우나, 막상 구현된 것의 실행시간은 매우 느렸다. 더 빠른 방법을 연구하여 보아야 한다.

Sub Euler14()
    Dim Maxcount, MaxStartNum
    Dim n, count, i
    For i = 500000 To 1000000
        count = 1 ' 시작하는 수를 첫항으로 포함
        n = i  ' Starting Number
        Do While n > 1
            If Mod2(n, 2) = 0 Then
                n = n / 2
            Else
                n = 3 * n + 1
            End If
            count = count + 1
        Loop
        If count > Maxcount Then
            Maxcount = count
            MaxStartNum = i
        End If
    Next
    Debug.Print Maxcount & "번", MaxStartNum
End Sub

' mod 함가 오버플로가 발생하여 이 함수를 대체한다.
Function Mod2(ByVal Num, ByVal Divide)
    Dim Mok
    Mok = Int(Num / Divide)
    Mod2 = Num - (Mok * Divide)
End Function

Euler Problem 13

문제는 다음과 같다.

Work out the first ten digits of the sum of the following one-hundred 50-digit numbers.
37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
24074486908231174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
34413065578016127815921815005561868836468420090470
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
67720186971698544312419572409913959008952310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
37774242535411291684276865538926205024910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
38298203783031473527721580348144513491373226651381
34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
62467957194401269043877107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530901129967519
86188088225875314529584099251203829009407770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
82959174767140363198008187129011875491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501907836945765883352399886
75506164965184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
99518671430235219628894890102423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
71329612474782464538636993009049310363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
66627891981488087797941876876144230030984490851411
60661826293682836764744779239180335110989069790714
85786944089552990653640447425576083659976645795096
66024396409905389607120198219976047599490197230297
64913982680032973156037120041377903785566085089252
16730939319872750275468906903707539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710598436791
78639167021187492431995700641917969777599028300699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
44889911501440648020369068063960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
81234880673210146739058568557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
77158542502016545090413245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690

이 문제는 숫자가 데이터 형식의 범위를 넘어설 경우 어떻게 계산할 것인가에 과한 것이라 생각된다. 50자리 숫자를 엑셀의 VBA에 받아들일 수 있는 형식은 없다. 워크시트에서는 유효자리수가 약 15개 정도이고, VBA의 double 이나 variant 형식도 유효자리수가 약 15자리이다. 즉 50개 숫자중 앞 15개만 살아남고 나머지는 사라지는 것이다. VBA의 데이터 형식 중 가장 큰 유효자리수를 지원하는 것이 decimal 형의 28자리이다. 따라서 위 50개 자리 숫자를 실질적으로 저장하고 계산하는 것이 불가능하다.
따라서 대안으로 생각한 것이 50개를 10개씩 나누어 배열에 저장하고 이를 계산하는 방법이다. 더하기나 빼기는 10개씩 해도 추가로 필요한 것이 3개 이상을 넘어가지 않기 때문에 문제가 없다. 만일 곱하기나 나누기가 들어가면 5개 정도씩 하는 것이 좋을 것이다(아마도 곱하기나 나누기는 조금 더 고려할 것이 많을 것이다).

Sub Euler13()
    Dim Num(1 To 100, 1 To 6) As Double
    Dim Snum(1 To 100) As String
    Dim Sum(1 To 6)  As Double
    Dim i, j, temp, upnum, strsum
    ' 문자열 배열에 입력한다 (아래 숫자를 텍스트파일로 저장하고, 파일로 불러들여도 된다)
    Snum(1) = "37107287533902102798797998220837590246510135740250"
    Snum(2) = "46376937677490009712648124896970078050417018260538"
    Snum(3) = "74324986199524741059474233309513058123726617309629"
    Snum(4) = "91942213363574161572522430563301811072406154908250"
    Snum(5) = "23067588207539346171171980310421047513778063246676"
    Snum(6) = "89261670696623633820136378418383684178734361726757"
    Snum(7) = "28112879812849979408065481931592621691275889832738"
    Snum(8) = "44274228917432520321923589422876796487670272189318"
    Snum(9) = "47451445736001306439091167216856844588711603153276"
    Snum(10) = "70386486105843025439939619828917593665686757934951"
    Snum(11) = "62176457141856560629502157223196586755079324193331"
    Snum(12) = "64906352462741904929101432445813822663347944758178"
    Snum(13) = "92575867718337217661963751590579239728245598838407"
    Snum(14) = "58203565325359399008402633568948830189458628227828"
    Snum(15) = "80181199384826282014278194139940567587151170094390"
    Snum(16) = "35398664372827112653829987240784473053190104293586"
    Snum(17) = "86515506006295864861532075273371959191420517255829"
    Snum(18) = "71693888707715466499115593487603532921714970056938"
    Snum(19) = "54370070576826684624621495650076471787294438377604"
    Snum(20) = "53282654108756828443191190634694037855217779295145"
    Snum(21) = "36123272525000296071075082563815656710885258350721"
    Snum(22) = "45876576172410976447339110607218265236877223636045"
    Snum(23) = "17423706905851860660448207621209813287860733969412"
    Snum(24) = "81142660418086830619328460811191061556940512689692"
    Snum(25) = "51934325451728388641918047049293215058642563049483"
    Snum(26) = "62467221648435076201727918039944693004732956340691"
    Snum(27) = "15732444386908125794514089057706229429197107928209"
    Snum(28) = "55037687525678773091862540744969844508330393682126"
    Snum(29) = "18336384825330154686196124348767681297534375946515"
    Snum(30) = "80386287592878490201521685554828717201219257766954"
    Snum(31) = "78182833757993103614740356856449095527097864797581"
    Snum(32) = "16726320100436897842553539920931837441497806860984"
    Snum(33) = "48403098129077791799088218795327364475675590848030"
    Snum(34) = "87086987551392711854517078544161852424320693150332"
    Snum(35) = "59959406895756536782107074926966537676326235447210"
    Snum(36) = "69793950679652694742597709739166693763042633987085"
    Snum(37) = "41052684708299085211399427365734116182760315001271"
    Snum(38) = "65378607361501080857009149939512557028198746004375"
    Snum(39) = "35829035317434717326932123578154982629742552737307"
    Snum(40) = "94953759765105305946966067683156574377167401875275"
    Snum(41) = "88902802571733229619176668713819931811048770190271"
    Snum(42) = "25267680276078003013678680992525463401061632866526"
    Snum(43) = "36270218540497705585629946580636237993140746255962"
    Snum(44) = "24074486908231174977792365466257246923322810917141"
    Snum(45) = "91430288197103288597806669760892938638285025333403"
    Snum(46) = "34413065578016127815921815005561868836468420090470"
    Snum(47) = "23053081172816430487623791969842487255036638784583"
    Snum(48) = "11487696932154902810424020138335124462181441773470"
    Snum(49) = "63783299490636259666498587618221225225512486764533"
    Snum(50) = "67720186971698544312419572409913959008952310058822"
    Snum(51) = "95548255300263520781532296796249481641953868218774"
    Snum(52) = "76085327132285723110424803456124867697064507995236"
    Snum(53) = "37774242535411291684276865538926205024910326572967"
    Snum(54) = "23701913275725675285653248258265463092207058596522"
    Snum(55) = "29798860272258331913126375147341994889534765745501"
    Snum(56) = "18495701454879288984856827726077713721403798879715"
    Snum(57) = "38298203783031473527721580348144513491373226651381"
    Snum(58) = "34829543829199918180278916522431027392251122869539"
    Snum(59) = "40957953066405232632538044100059654939159879593635"
    Snum(60) = "29746152185502371307642255121183693803580388584903"
    Snum(61) = "41698116222072977186158236678424689157993532961922"
    Snum(62) = "62467957194401269043877107275048102390895523597457"
    Snum(63) = "23189706772547915061505504953922979530901129967519"
    Snum(64) = "86188088225875314529584099251203829009407770775672"
    Snum(65) = "11306739708304724483816533873502340845647058077308"
    Snum(66) = "82959174767140363198008187129011875491310547126581"
    Snum(67) = "97623331044818386269515456334926366572897563400500"
    Snum(68) = "42846280183517070527831839425882145521227251250327"
    Snum(69) = "55121603546981200581762165212827652751691296897789"
    Snum(70) = "32238195734329339946437501907836945765883352399886"
    Snum(71) = "75506164965184775180738168837861091527357929701337"
    Snum(72) = "62177842752192623401942399639168044983993173312731"
    Snum(73) = "32924185707147349566916674687634660915035914677504"
    Snum(74) = "99518671430235219628894890102423325116913619626622"
    Snum(75) = "73267460800591547471830798392868535206946944540724"
    Snum(76) = "76841822524674417161514036427982273348055556214818"
    Snum(77) = "97142617910342598647204516893989422179826088076852"
    Snum(78) = "87783646182799346313767754307809363333018982642090"
    Snum(79) = "10848802521674670883215120185883543223812876952786"
    Snum(80) = "71329612474782464538636993009049310363619763878039"
    Snum(81) = "62184073572399794223406235393808339651327408011116"
    Snum(82) = "66627891981488087797941876876144230030984490851411"
    Snum(83) = "60661826293682836764744779239180335110989069790714"
    Snum(84) = "85786944089552990653640447425576083659976645795096"
    Snum(85) = "66024396409905389607120198219976047599490197230297"
    Snum(86) = "64913982680032973156037120041377903785566085089252"
    Snum(87) = "16730939319872750275468906903707539413042652315011"
    Snum(88) = "94809377245048795150954100921645863754710598436791"
    Snum(89) = "78639167021187492431995700641917969777599028300699"
    Snum(90) = "15368713711936614952811305876380278410754449733078"
    Snum(91) = "40789923115535562561142322423255033685442488917353"
    Snum(92) = "44889911501440648020369068063960672322193204149535"
    Snum(93) = "41503128880339536053299340368006977710650566631954"
    Snum(94) = "81234880673210146739058568557934581403627822703280"
    Snum(95) = "82616570773948327592232845941706525094512325230608"
    Snum(96) = "22918802058777319719839450180888072429661980811197"
    Snum(97) = "77158542502016545090413245809786882778948721859617"
    Snum(98) = "72107838435069186155435662884062257473692284509516"
    Snum(99) = "20849603980134001723930671666823555245252804609722"
    Snum(100) = "53503534226472524250874054075591789781264330331690"
    ' 숫자를 열개씩 끊어서 2차원 배열에 입력한다. Num(1,6)은 1줄의 끝 10개 숫자가 들어간다.
    For i = 1 To 100
        For j = 6 To 2 Step -1
            Num(i, j) = Mid(Snum(i), j * 10 - 19, 10)
        Next
    Next
    ' 배열 Sum에 첫번째 줄의 숫자들을 각 10개씩 배열에 입력한다.
    For j = 6 To 1 Step -1
        Sum(j) = Num(1, j)
    Next
    ' 100개줄의 숫자들을 10개씩 묶음 별로 계산하고, 올림이 있으면 올린다.
    upnum = 0
    For i = 2 To 100
        For j = 6 To 1 Step -1
            temp = Sum(j) + Num(i, j) + upnum
            upnum = Int(temp / 10000000000#)
            Sum(j) = temp - (upnum * 10000000000#)
        Next
    Next
    ' strsum 변수에 배열 Sum의 1번 배열 값을 입력한다.
    strsum = Sum(1)
    ' strsum 변수에 나머지 배열 Sum의 값들을 10자리씩 형식을 지정하여 문자열로 연결하여 입력한다.
    For j = 2 To 6
        strsum = strsum & Format(Sum(j), "0000000000")
    Next
    ' 왼쪽에서 10개 자리에 있는 숫자들을 출력한다.
    Debug.Print Left(strsum, 10)
End Sub

Euler Problem 12

문제는 다음과 같다.

The sequence of triangle numbers is generated by adding the natural numbers. So the 7^th triangle number would be 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. The first ten terms would be:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Let us list the factors of the first seven triangle numbers:

 1: 1
 3: 1,3
 6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

We can see that 28 is the first triangle number to have over five divisors.
What is the value of the first triangle number to have over five hundred divisors?

인수분해 문제인 것으로 보인다. 삼각수를 계속해서 증가시켜 나가면서 인수분해된 인수의 수가 5000이상인 것은 어떤 수인가를 찾는 문제이다. 이를 위해 계속해서 삼각수를 증가시키면서 인수분해를 수행하도록 프로그래밍 하였다. 또한 인수분해는 N의 제곱근을 넘지 못한다는 점을 고려하여 순환횟수도 줄이도록 하였다.

Sub euler12()
    Dim Num, Order, Limit, Count, i, j
    Dim Check As Boolean   
    Num = 1     ' triangle number
    i = 2           ' 1씩 증가하는 수
    Order = 1   ' 몇번째 triangle number 인가?
    Check = True    ' 반복. false 이면 순환 중지   
    Do While Check = True
        Num = Num + i
        Limit = Int(Sqr(Num))
        Count = 0
        For j = 1 To Limit
            If Num Mod j = 0 Then
                If j = (Num / j) Then
                    Count = Count + 1
                Else
                    Count = Count + 2
                End If
            End If
        Next
        If Count >= 500 Then
            Debug.Print Num, Order + 1 & "번째"
            Check = False
        End If
        i = i + 1
        Order = Order + 1
    Loop
End Sub

Euler Problem 11

문제는 다음과 같다.

In the 2020 grid below, four numbers along a diagonal line have been marked in red.

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

The product of these numbers is 26 63 78 14 = 1788696.
What is the greatest product of four adjacent numbers in any direction (up, down, left, right, or diagonally) in the 2020 grid?

일단, 위 그리드에 있는 숫자들을 2차원 배열에 넣는 작업을 수행할 필요가 있다. 그 다음에 각각의 숫자를 중심으로 가로줄, 세로줄, 왼쪽 대각선 줄, 오른족 대각선 줄에서 각각 4개씩의 연속된 숫자를 뽑아 곱셈을 해야 한다. 처음에 어떻게 해야 할지 막막했으나, 2차원 배열표를 그려놓고 가만히 생각하니 규칙성이 발견되었다. 그래서 이를 아래와 같이 구현하였다.

Option Explicit

Sub Euler11()
    Dim sDigit As String
    Dim Num(1 To 20, 1 To 20)
    Dim i, j, k, Greatest, Product
   
    sDigit = sDigit & "08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08"
    sDigit = sDigit & " 49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00"
    sDigit = sDigit & " 81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65"
    sDigit = sDigit & " 52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91"
    sDigit = sDigit & " 22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80"
    sDigit = sDigit & " 24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50"
    sDigit = sDigit & " 32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70"
    sDigit = sDigit & " 67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21"
    sDigit = sDigit & " 24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72"
    sDigit = sDigit & " 21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95"
    sDigit = sDigit & " 78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92"
    sDigit = sDigit & " 16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57"
    sDigit = sDigit & " 86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58"
    sDigit = sDigit & " 19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40"
    sDigit = sDigit & " 04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66"
    sDigit = sDigit & " 88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69"
    sDigit = sDigit & " 04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36"
    sDigit = sDigit & " 20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16"
    sDigit = sDigit & " 20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54"
    sDigit = sDigit & " 01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48"
    k = 1
    For i = 1 To 20
        For j = 1 To 20
            Num(i, j) = Mid(sDigit, k, 2)
            k = k + 3
        Next
    Next
   
    For i = 1 To 20
        For j = 1 To 20
            For k = 3 To 0 Step -1
                ' 세로줄 계산
                If (i - k) > 0 And (i - k + 3) < 21 Then
                    Product = Num(i - k, j) * Num(i - k + 1, j) * Num(i - k + 2, j) * Num(i - k + 3, j)
                    If Product > Greatest Then
                        Greatest = Product
                    End If
                End If
                ' 가로줄 계산
                If (j - k) > 0 And (j - k + 3) < 21 Then
                    Product = Num(i, j - k) * Num(i, j - k + 1) * Num(i, j - k + 2) * Num(i, j - k + 3)
                    If Product > Greatest Then
                        Greatest = Product
                    End If
                End If
                ' 왼쪽 대각선 계산
                If (i - k) > 0 And (i - k + 3) < 21 And (j - k) > 0 And (j - k + 3) < 21 Then
                    Product = Num(i - k, j - k) * Num(i - k + 1, j - k + 1) * Num(i - k + 2, j - k + 2) * Num(i - k + 3, j - k + 3)
                    If Product > Greatest Then
                        Greatest = Product
                    End If
                End If
                ' 오른쪽 대각선 계산
                If (i - k) > 0 And (i - k + 3) < 21 And (j + k) < 21 And (j + k - 3) > 0 Then
                    Product = Num(i - k, j + k) * Num(i - k + 1, j + k - 1) * Num(i - k + 2, j + k - 2) * Num(i - k + 3, j + k - 3)
                    If Product > Greatest Then
                        Greatest = Product
                    End If
                End If
            Next
        Next
    Next
    Debug.Print Greatest
End Sub

실행시간(초):  0.046875

Euler Problem 10

문제

The sum of the primes below 10 is 2 + 3 + 5 + 7 = 17.
Find the sum of all the primes below two million.

소수를 구하는 문제이다. 에라토스테네스의 체를 이용하면 빠르게 계산이 가능하다. 그러나 VBA에서는 배열의 크기가 long의 크기(2,147,483,647)를 넘어가면 안되기 때문에 매우 큰 수를 사용하기에는 어려움이 있다. 물론 그 전에 메모리 한계 때문에 에러가 발생하기도 한다. 다행이 이 문제는 그 크기 한계가 2,000,000개이다. 그래서 배열 사용이 가능하여 에라토스테네스의 체를 이용하여 알고리즘을 구현하였다.

에라토스테네스 체의 알고리즘

① 2부터 N까지의 수를 배열에 지정한다. (여기서 N = 2,000,000 이다)
② 2를 제외한 2의 배수 모두를 제거한다. (즉 소수가 아닌 것으로 표시한다)
③ 그 다음 작은 소수인 3을 제외한 3의 배수 모두를 제거한다.
④ 그 다음 작은 소수인 5를 제외한 5의 배수 모두를 제거한다.
⑤ 이런식으로 계속해서 그 다음 작은 소수가 sqrt(N)이 될 때가지 반복한다.
⑥ 제거되지 않고 남은 수가 모두 소수이다.

Sub Euler10()
    Const Num = 2000000
    Dim Prime(2 To Num) As Byte
    Dim i, j, Limit, Sum
    For i = 2 To Num
        Prime(i) = 1
    Next
    Limit = Int(Sqr(Num))
    For i = 2 To Limit
        If Prime(i) = 1 Then
            For j = i * 2 To Num Step i
                Prime(j) = 0
            Next
        End If
    Next
    Sum = 0
    For i = 2 To Num
        If Prime(i) = 1 Then
            Sum = Sum + i
        End If
    Next
    Debug.Print "2에서 " & Num & " 사이의 소수 합: ", Sum
End Sub

실행시간(초):  0.71875

Euler Problem 9

Euler Problem 9는 다음과 같다.

A Pythagorean triplet is a set of three natural numbers, a b c, for which,

a² + b² = c²

For example, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
There exists exactly one Pythagorean triplet for which a + b + c = 1000.
Find the product abc.

이 문제는 a+b+c=1000, a<b<c, a² + b² = c² , a=b=c=자연수 라는 점을 이용하여 순차적으로 계산하면 그 답을 구할 수 있다. 아래 알고리즘은 그 솔루션이다.

Option Explicit
Sub euler9()
    Dim a, b, c, Sum, aLimit, bLimit
    Sum = 1000
    ' a+b+c=sum, a>b>c 이기 때문에, 최소한 a+(a+1)+(a+2)=sum. 따라서 a=(sum-3)/3을 초과 못함
    aLimit = Int((Sum - 3) / 3)
    For a = 3 To aLimit     ' a는 3이상부터 시작된다.
        bLimit = Int((Sum - a) / 2)    ' b는 a보다 크고 c보다 작아야 하기 때문에
        For b = a + 1 To bLimit
            c = Sum - a - b
            If c > b Then
                If (c * c) = (a * a) + (b * b) Then
                    Debug.Print a, b, c, a * b * c
                End If
            End If
        Next
    Next
End Sub

실행시간(초):  0.078125

그러나, 위 방식은 Sum의 값이 커짐에 따라 매우 느려진다. 중첩 for 문이고, 순차적으로 계산하기 때문이다. Sum의 값을 10,000으로 하였더니 실행시간이  3.46875초가 되었고, 다시 100,000으로 올렸더니 336.25초가 나왔다(답도 2세트가 나옴). 아무래도 문제가 있는 알고리즘인 것 같다. 어떻게 하면 반복계산을 줄일 수 있을까?

Euler problem 8

Euler problem 8의 문제는 다음과 같다.

Find the greatest product of five consecutive digits in the 1000-digit number.
73167176531330624919225119674426574742355349194934
96983520312774506326239578318016984801869478851843
85861560789112949495459501737958331952853208805511
12540698747158523863050715693290963295227443043557
66896648950445244523161731856403098711121722383113
62229893423380308135336276614282806444486645238749
30358907296290491560440772390713810515859307960866
70172427121883998797908792274921901699720888093776
65727333001053367881220235421809751254540594752243
52584907711670556013604839586446706324415722155397
53697817977846174064955149290862569321978468622482
83972241375657056057490261407972968652414535100474
82166370484403199890008895243450658541227588666881
16427171479924442928230863465674813919123162824586
17866458359124566529476545682848912883142607690042
24219022671055626321111109370544217506941658960408
07198403850962455444362981230987879927244284909188
84580156166097919133875499200524063689912560717606
05886116467109405077541002256983155200055935729725
71636269561882670428252483600823257530420752963450

문제는 쉽다. 다만, VBA에서 배열, 문자열 함수 등을 사용하여야 한다. 위 숫자를 모두 배열에 넣은 다음, 앞에서 차례로 다섯개씩 곱을 해서 가장 큰 수를 찾으면 된다. 그러나 너무 쉽기 때문에 보다 실행시간을 줄일 수 있는 방법이 없을까 고민하였다. 그러다가 0을 곱하면 0이 나온다는 점, 그리고 5자리 수 끝에서 0을 발견하면 5칸을 뛰어 넘어 계산횟수를 줄일 수 있다는 점을 고려하여 알고리즘을 구성하였다. 두 알고리즘을 비교해보니 약 0.015초 정도 차이가 나는 것 같다. 숫자가 1000개보다 더 커지면 더 차이가 날 것으로, 그리고 0이 많이 포함될수록 더 차이가 날 것으로 생각된다.
아래는 이 문제 해결을 위한 나의 VBA 코드이다. 

Option Explicit
Sub euler8()
    Dim sDigit As String
    Dim bytNum(1 To 1000)
    Dim i, Greatest, rProduct
    sDigit = sDigit & "73167176531330624919225119674426574742355349194934"
    sDigit = sDigit & "96983520312774506326239578318016984801869478851843"
    sDigit = sDigit & "85861560789112949495459501737958331952853208805511"
    sDigit = sDigit & "12540698747158523863050715693290963295227443043557"
    sDigit = sDigit & "66896648950445244523161731856403098711121722383113"
    sDigit = sDigit & "62229893423380308135336276614282806444486645238749"
    sDigit = sDigit & "30358907296290491560440772390713810515859307960866"
    sDigit = sDigit & "70172427121883998797908792274921901699720888093776"
    sDigit = sDigit & "65727333001053367881220235421809751254540594752243"
    sDigit = sDigit & "52584907711670556013604839586446706324415722155397"
    sDigit = sDigit & "53697817977846174064955149290862569321978468622482"
    sDigit = sDigit & "83972241375657056057490261407972968652414535100474"
    sDigit = sDigit & "82166370484403199890008895243450658541227588666881"
    sDigit = sDigit & "16427171479924442928230863465674813919123162824586"
    sDigit = sDigit & "17866458359124566529476545682848912883142607690042"
    sDigit = sDigit & "24219022671055626321111109370544217506941658960408"
    sDigit = sDigit & "07198403850962455444362981230987879927244284909188"
    sDigit = sDigit & "84580156166097919133875499200524063689912560717606"
    sDigit = sDigit & "05886116467109405077541002256983155200055935729725"
    sDigit = sDigit & "71636269561882670428252483600823257530420752963450"
    For i = 1 To 1000
        bytNum(i) = Mid(sDigit, i, 1)
    Next
    i = 1
    Do While i <= 996
        rProduct = bytNum(i) * bytNum(i + 1) * bytNum(i + 2) * bytNum(i + 3) * bytNum(i + 4)
        If rProduct > Greatest Then
            Greatest = rProduct
        End If
        If bytNum(i + 4) = 0 Then
            i = i + 5
        Else
            i = i + 1
        End If
    Loop
    Debug.Print Greatest
End Sub

실행시간(초):  0

Euler Problem 7

Euler Problem 7의 내용은 다음과 같다.

By listing the first six prime numbers: 2, 3, 5, 7, 11, and 13, we can see that the 6^th prime is 13.
What is the 10001^st prime number?

소수를 구하는 문제이다. 만일 100이하의 소수를 모두 구하라 하면 에라토스테네스의 체를 이용하여 알고리즘을 구성하면 보다 좋을 것이나, 이 문제는 10001번째 소수를 구하는 것이라 이를 이용할 수 없다.
따라서 3부터 원하는 답이 나올때까지 홀수만 선정하여 소수인지 검사하는 알고리즘을 구성하였다. 그 결과는 다음과 같다.

Sub euler7()
    Const MaxCount = 10001  '구하고자 하는 소수의 순번(예, 10001번째 소수)
    Dim i, count, PrimeNum
    count = 1   ' 소수 2를 고려하여 카운트를 1로 설정
    i = 3   ' 소수 3부터 시작
    Do
        If IsPrime(i) = True Then
            PrimeNum = i
            count = count + 1
        End If

 i = i + 2   ' 홀수만 검사

    Loop While count < MaxCount
    Debug.Print count, "번째 소수: ", PrimeNum
End Sub

'주어진 수가 소수인지 확인하는 함수
Function IsPrime(Value As Variant) As Boolean
   Dim Limit, i
   Limit = Int(Sqr(Value))
   If Value <= 2 Then
      IsPrime = True
      Exit Function
   End If
   If Mod2(Value, 2) = 0 Then
      IsPrime = False
      Exit Function
   End If
   For i = 3 To Limit Step 2
      If Mod2(Value, i) = 0 Then
         IsPrime = False
         Exit Function
      End If
   Next
   IsPrime = True
End Function

'VBA의 Mod함수는 큰 수에 대해 오버플로가 발생. 따라서 나머지를 구하는 함수 따로 작성
Function Mod2(Num As Variant, Divide As Variant) As Variant
   Dim Mok
   Mok = Int(Num / Divide)
   Mod2 = Num - (Mok * Divide)
End Function

실행시간(초):  1.203125

Euler Problem 6

문제는 다음과 같다.

The sum of the squares of the first ten natural numbers is,

1² + 2² + ... + 10² = 385

The square of the sum of the first ten natural numbers is,

(1 + 2 + ... + 10)² = 55² = 3025

Hence the difference between the sum of the squares of the first ten natural numbers and the square of the sum is 3025 385 = 2640.
Find the difference between the sum of the squares of the first one hundred natural numbers and the square of the sum.

문제 그대로 단순하게 알고리즘을 구성하였다. 합계의 제곱과 제곱의 합계를 구한 후, 합계의 제곱에서 제곱의 합계를 뺐다.

' 단순하게 계산하는 방식 (The square of the sum - The sum of the squares)
' {(1 + 2 + ... + 10)^(2)} - {1^(2) + 2^(2) + ... + 10^(2)}
Sub Euler6()
    Const startNum = 1, endNum = 100
    Dim i, sum, SquareOfSum, SumOfSquare
    sum = 0
    ' 합계의 제곱을 구한다
    For i = startNum To endNum
        sum = sum + i
    Next
    SquareOfSum = sum * sum
    ' 제곱의 합계를 구한다
    SumOfSquare = 0
    For i = startNum To endNum
        SumOfSquare = SumOfSquare + (i * i)
    Next
    ' 차이를 보여준다
    MsgBox SquareOfSum - SumOfSquare
End Sub

실행시간(초) : 0

1에서 100까지의 실행시간은 0초로 나왔다. 그래서 1에서 100,000까지 돌려본 결과 실행시간은 0.03125가 나왔다. 매우 빠르게 작동한다.

너무 단순해서 변형하여 보았다. (a+b)^2 - (a^2 + b^2) = 2ab를 응용하여 알고리즘을 구성하여 보았다. 그러면 조금 더 빨라지지 않을까 하는 기대가 있었다. 그러나 결과는 실패였다. 1에서 100까지 약 0초가 걸렸다. 그러나 최대값이 커질 수록 시간이 급증하였다. 1에서 1,000까지는 0.09375초, 1에서 10,000까지는 4.828125초가 나왔다. 100,000까지는 시간이 너무 오래 걸려 테스트를 중단하였다. 그 이유는 정확히 모르겠다. 아마도 중첩 for 문 때문으로 생각된다. 예를 들어 1에서 100까지 계산할 경우, 위 알고리즘은 약 200번(100*2) 계산하는 데, 아래 알고리즘은 약 10,000번(100*100) 계산한다. 아래는 속도면에서 실패한 알고리즘이다.

실행속도에서 실패한 알고리즘

Sub Euler6b()
    Const startNum = 1, endNum = 100
    Dim i, j, result
    result = 0
    For i = startNum To endNum - 1
        For j = i + 1 To endNum
            result = result + (i * j)
        Next
    Next
    result = result * 2
    Debug.Print result
End Sub

실행시간(초) : 0